今天是大结局，说下“图”的最后一点东西，“最小生成树“和”最短路径“。
一： 最小生成树
1. 概念
首先看如下图，不知道大家能总结点什么。
对于一个连通图G，如果其全部顶点和一部分边构成一个子图G1，当G1满足：
① 刚好将图中所有顶点连通。②顶点不存在回路。则称G1就是G的“生成树”。
其实一句话总结就是：生成树是将原图的全部顶点以最小的边连通的子图，这不，如下的连通图可以得到下面的两个生成树。
② 对于一个带权的连通图，当生成的树不同，各边上的权值总和也不同，如果某个生成树的权值最小，则它就是“最小生成树”。
2. 场景
实际应用中“最小生成树”还是蛮有实际价值的，教科书上都有这么一句话，若用图来表示一个交通系统，每一个顶点代表一个城市，
边代表两个城市之间的距离，当有n个城市时，可能会有n(n-1)/2条边，那么怎么选择(n-1)条边来使城市之间的总距离最小，其实它
的抽象模型就是求“最小生成树”的问题。
3. prim算法
当然如何求“最小生成树”问题，前人都已经给我们总结好了，我们只要照葫芦画瓢就是了，
第一步：我们建立集合“V,U"，将图中的所有顶点全部灌到V集合中，U集合初始为空。
第二步： 我们将V1放入U集合中并将V1顶点标记为已访问。此时：U（V1）。
第三步： 我们寻找V1的邻接点（V2,V3,V5)，权值中发现(V1,V2)之间的权值最小，此时我们将V2放入U集合中并标记V2为已访问，
此时为U（V1，V2）。
第四步： 我们找U集合中的V1和V2的邻接边，一阵痉挛后，发现（V1，V5）的权值最小，此时将V5加入到U集合并标记为已访问，此时
U的集合元素为（V1，V2，V5）。
第五步：此时我们以（V1，V2，V5）为基准向四周寻找最小权值的邻接边，发现（V5，V4）的权值最小，此时将V4加入到U集合并标记
为已访问，此时U的集合元素为（V1，V2，V5，V4）。
第六步： 跟第五步形式一样，找到了（V1，V3）的权值最小，将V3加入到U集合中并标记为已访问，最终U的元素为（V1，V2，V5，V4，V3），
最终发现顶点全部被访问，最小生成树就此诞生。
1 #region prim算法获取最小生成树 2 ///3 /// prim算法获取最小生成树 4 /// 5 /// 6 public void Prim(MatrixGraph graph, out int sum) 7 { 8 //已访问过的标志 9 int used = 0; 10 11 //非邻接顶点标志 12 int noadj = -1; 13 14 //定义一个输出总权值的变量 15 sum = 0; 16 17 //临时数组，用于保存邻接点的权值 18 int[] weight = new int[graph.vertexNum]; 19 20 //临时数组，用于保存顶点信息 21 int[] tempvertex = new int[graph.vertexNum]; 22 23 //取出邻接矩阵的第一行数据，也就是取出第一个顶点并将权和边信息保存于临时数据中 24 for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++) 25 { 26 //保存于邻接点之间的权值 27 weight[i] = graph.edges[0, i]; 28 29 //等于0则说明V1与该邻接点没有边 30 if (weight[i] == short.MaxValue) 31 tempvertex[i] = noadj; 32 else 33 tempvertex[i] = int.Parse(graph.vertex[0]); 34 } 35 36 //从集合V中取出V1节点，只需要将此节点设置为已访问过，weight为0集合 37 var index = tempvertex[0] = used; 38 var min = weight[0] = short.MaxValue; 39 40 //在V的邻接点中找权值最小的节点 41 for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++) 42 { 43 index = i; 44 min = short.MaxValue; 45 46 for (int j = 1; j < graph.vertexNum; j++) 47 { 48 //用于找出当前节点的邻接点中权值最小的未访问点 49 if (weight[j] < min && tempvertex[j] != 0) 50 { 51 min = weight[j]; 52 index = j; 53 } 54 } 55 //累加权值 56 sum += min; 57 58 Console.Write("({0},{1}) ", tempvertex[index], graph.vertex[index]); 59 60 //将取得的最小节点标识为已访问 61 weight[index] = short.MaxValue; 62 tempvertex[index] = 0; 63 64 //从最新的节点出发，将此节点的weight比较赋值 65 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++) 66 { 67 //已当前节点为出发点，重新选择最小边 68 if (graph.edges[index, j] < weight[j] && tempvertex[j] != used) 69 { 70 weight[j] = graph.edges[index, j]; 71 72 //这里做的目的将较短的边覆盖点上一个节点的邻接点中的较长的边 73 tempvertex[j] = int.Parse(graph.vertex[index]); 74 } 75 } 76 } 77 } 78 #endregion
1. 概念
求最短路径问题其实也是非常有实用价值的，映射到交通系统图中，就是求两个城市间的最短路径问题，还是看这张图，我们可以很容易的看出比如
V1到图中各顶点的最短路径。
① V1 -> V2 直达， 权为2。
② V1 -> V3 直达 权为3。
③ V1->V5->V4 中转 权为3+2=5。
④ V1 -> V5 直达 权为3。
、
2. Dijkstra算法
我们的学习需要站在巨人的肩膀上，那么对于现实中非常复杂的问题，我们肯定不能用肉眼看出来，而是根据一定的算法推导出来的。
Dijkstra思想遵循 “走一步，看一步”的原则。
第一步： 我们需要一个集合U，然后将V1放入U集合中，既然走了一步，我们就要看一步，就是比较一下V1的邻接点（V2，V3，V5），
发现（V1，V2）的权值最小，此时我们将V2放入U集合中，表示我们已经找到了V1到V2的最短路径。
第二步：然后将V2做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现只有V4可以连通，此时修改V4的权值为（V1，V2)+(V2，V4)=6。
此时我们就要看一步，发现V1到（V3，V4，V5）中权值最小的是（V1，V5），此时将V5放入U集合中，表示我们已经找到了
V1到V5的最短路径。
第三步：然后将V5做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现能连通的有V3，V4，当我们正想修该V3的权值时发现（V1，V3）的权值
小于（V1->V5->V3),此时我们就不修改，将V3放入U集合中，最后我们找到了V1到V3的最短路径。
第四步：因为V5还没有走完，所以继续用V5做中间点，此时只能连通(V5,V4),当要修改权值的时候，发现原来的V4权值为(V1,V2)+(V2,V4),而
现在的权值为5，小于先前的6，此时更改原先的权值变为5，将V4放入集合中，最后我们找到了V1到V4的最短路径。
1 #region dijkstra求出最短路径 2 ///3 /// dijkstra求出最短路径 4 /// 5 /// 6 public void Dijkstra(MatrixGraph g) 7 { 8 int[] weight = new int[g.vertexNum]; 9 10 int[] path = new int[g.vertexNum]; 11 12 int[] tempvertex = new int[g.vertexNum]; 13 14 Console.WriteLine("\n请输入源点的编号："); 15 16 //让用户输入要遍历的起始点 17 int vertex = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1; 18 19 for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) 20 { 21 //初始赋权值 22 weight[i] = g.edges[vertex, i]; 23 24 if (weight[i] < short.MaxValue && weight[i] > 0) 25 path[i] = vertex; 26 27 tempvertex[i] = 0; 28 } 29 30 tempvertex[vertex] = 1; 31 weight[vertex] = 0; 32 33 for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) 34 { 35 int min = short.MaxValue; 36 37 int index = vertex; 38 39 for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++) 40 { 41 //顶点的权值中找出最小的 42 if (tempvertex[j] == 0 && weight[j] < min) 43 { 44 min = weight[j]; 45 index = j; 46 } 47 } 48 49 tempvertex[index] = 1; 50 51 //以当前的index作为中间点，找出最小的权值 52 for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++) 53 { 54 if (tempvertex[j] == 0 && weight[index] + g.edges[index, j] < weight[j]) 55 { 56 weight[j] = weight[index] + g.edges[index, j]; 57 path[j] = index; 58 } 59 } 60 } 61 62 Console.WriteLine("\n顶点{0}到各顶点的最短路径为：（终点 < 源点） " + g.vertex[vertex]); 63 64 //最后输出 65 for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) 66 { 67 if (tempvertex[i] == 1) 68 { 69 var index = i; 70 71 while (index != vertex) 72 { 73 var j = index; 74 Console.Write("{0} < ", g.vertex[index]); 75 index = path[index]; 76 } 77 Console.WriteLine("{0}\n", g.vertex[index]); 78 } 79 else 80 { 81 Console.WriteLine("{0} <- {1}: 无路径\n", g.vertex[i], g.vertex[vertex]); 82 } 83 } 84 } 85 #endregion
最后上一下总的运行代码
View Code 1 using System; 2 using System.Collections.Generic; 3 using System.Linq; 4 using System.Text; 5 6 namespace MatrixGraph 7 { 8 public class Program 9 { 10 static void Main(string[] args) 11 { 12 MatrixGraphManager manager = new MatrixGraphManager(); 13 14 //创建图 15 MatrixGraph graph = manager.CreateMatrixGraph(); 16 17 manager.OutMatrix(graph); 18 19 int sum = 0; 20 21 manager.Prim(graph, out sum); 22 23 Console.WriteLine("\n最小生成树的权值为：" + sum); 24 25 manager.Dijkstra(graph); 26 27 //Console.Write("广度递归:\t"); 28 29 //manager.BFSTraverse(graph); 30 31 //Console.Write("\n深度递归:\t"); 32 33 //manager.DFSTraverse(graph); 34 35 Console.ReadLine(); 36 37 } 38 } 39 40 #region 邻接矩阵的结构图 41 /// 42 /// 邻接矩阵的结构图 43 /// 44 public class MatrixGraph 45 { 46 //保存顶点信息 47 public string[] vertex; 48 49 //保存边信息 50 public int[,] edges; 51 52 //深搜和广搜的遍历标志 53 public bool[] isTrav; 54 55 //顶点数量 56 public int vertexNum; 57 58 //边数量 59 public int edgeNum; 60 61 //图类型 62 public int graphType; 63 64 /// 65 /// 存储容量的初始化 66 /// 67 /// 68 /// 69 /// 70 public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType) 71 { 72 this.vertexNum = vertexNum; 73 this.edgeNum = edgeNum; 74 this.graphType = graphType; 75 76 vertex = new string[vertexNum]; 77 edges = new int[vertexNum, vertexNum]; 78 isTrav = new bool[vertexNum]; 79 } 80 81 } 82 #endregion 83 84 /// 85 /// 图的操作类 86 /// 87 public class MatrixGraphManager 88 { 89 #region 图的创建 90 /// 91 /// 图的创建 92 /// 93 /// 94 public MatrixGraph CreateMatrixGraph() 95 { 96 Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。"); 97 98 var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList(); 99 100 MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]); 101 102 //我们默认“正无穷大为没有边” 103 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 104 { 105 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++) 106 { 107 graph.edges[i, j] = short.MaxValue; 108 } 109 } 110 111 Console.WriteLine("请输入各顶点信息："); 112 113 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 114 { 115 Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:"); 116 117 var single = Console.ReadLine(); 118 119 //顶点信息加入集合中 120 graph.vertex[i] = single; 121 } 122 123 Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n"); 124 125 for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++) 126 { 127 Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t"); 128 129 initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList(); 130 131 int start = initData[0]; 132 int end = initData[1]; 133 int weight = initData[2]; 134 135 //给矩阵指定坐标位置赋值 136 graph.edges[start - 1, end - 1] = weight; 137 138 //如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称 139 if (graph.graphType == 1) 140 { 141 graph.edges[end - 1, start - 1] = weight; 142 } 143 } 144 145 return graph; 146 } 147 #endregion 148 149 #region 输出矩阵数据 150 /// 151 /// 输出矩阵数据 152 /// 153 /// 154 public void OutMatrix(MatrixGraph graph) 155 { 156 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 157 { 158 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++) 159 { 160 if (graph.edges[i, j] == short.MaxValue) 161 Console.Write("∽\t"); 162 else 163 Console.Write(graph.edges[i, j] + "\t"); 164 } 165 //换行 166 Console.WriteLine(); 167 } 168 } 169 #endregion 170 171 #region 广度优先 172 /// 173 /// 广度优先 174 /// 175 /// 176 public void BFSTraverse(MatrixGraph graph) 177 { 178 //访问标记默认初始化 179 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 180 { 181 graph.isTrav[i] = false; 182 } 183 184 //遍历每个顶点 185 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 186 { 187 //广度遍历未访问过的顶点 188 if (!graph.isTrav[i]) 189 { 190 BFSM(ref graph, i); 191 } 192 } 193 } 194 195 /// 196 /// 广度遍历具体算法 197 /// 198 /// 199 public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex) 200 { 201 //这里就用系统的队列 202 Queue queue = new Queue (); 203 204 //先把顶点入队 205 queue.Enqueue(vertex); 206 207 //标记此顶点已经被访问 208 graph.isTrav[vertex] = true; 209 210 //输出顶点 211 Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]); 212 213 //广度遍历顶点的邻接点 214 while (queue.Count != 0) 215 { 216 var temp = queue.Dequeue(); 217 218 //遍历矩阵的横坐标 219 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 220 { 221 if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0) 222 { 223 graph.isTrav[i] = true; 224 225 queue.Enqueue(i); 226 227 //输出未被访问的顶点 228 Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]); 229 } 230 } 231 } 232 } 233 #endregion 234 235 #region 深度优先 236 /// 237 /// 深度优先 238 /// 239 /// 240 public void DFSTraverse(MatrixGraph graph) 241 { 242 //访问标记默认初始化 243 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 244 { 245 graph.isTrav[i] = false; 246 } 247 248 //遍历每个顶点 249 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 250 { 251 //广度遍历未访问过的顶点 252 if (!graph.isTrav[i]) 253 { 254 DFSM(ref graph, i); 255 } 256 } 257 } 258 259 #region 深度递归的具体算法 260 /// 261 /// 深度递归的具体算法 262 /// 263 /// 264 /// 265 public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex) 266 { 267 Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]); 268 269 //标记为已访问 270 graph.isTrav[vertex] = true; 271 272 //要遍历的六个点 273 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) 274 { 275 if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0) 276 { 277 //深度递归 278 DFSM(ref graph, i); 279 } 280 } 281 } 282 #endregion 283 #endregion 284 285 #region prim算法获取最小生成树 286 /// 287 /// prim算法获取最小生成树 288 /// 289 /// 290 public void Prim(MatrixGraph graph, out int sum) 291 { 292 //已访问过的标志 293 int used = 0; 294 295 //非邻接顶点标志 296 int noadj = -1; 297 298 //定义一个输出总权值的变量 299 sum = 0; 300 301 //临时数组，用于保存邻接点的权值 302 int[] weight = new int[graph.vertexNum]; 303 304 //临时数组，用于保存顶点信息 305 int[] tempvertex = new int[graph.vertexNum]; 306 307 //取出邻接矩阵的第一行数据，也就是取出第一个顶点并将权和边信息保存于临时数据中 308 for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++) 309 { 310 //保存于邻接点之间的权值 311 weight[i] = graph.edges[0, i]; 312 313 //等于0则说明V1与该邻接点没有边 314 if (weight[i] == short.MaxValue) 315 tempvertex[i] = noadj; 316 else 317 tempvertex[i] = int.Parse(graph.vertex[0]); 318 } 319 320 //从集合V中取出V1节点，只需要将此节点设置为已访问过，weight为0集合 321 var index = tempvertex[0] = used; 322 var min = weight[0] = short.MaxValue; 323 324 //在V的邻接点中找权值最小的节点 325 for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++) 326 { 327 index = i; 328 min = short.MaxValue; 329 330 for (int j = 1; j < graph.vertexNum; j++) 331 { 332 //用于找出当前节点的邻接点中权值最小的未访问点 333 if (weight[j] < min && tempvertex[j] != 0) 334 { 335 min = weight[j]; 336 index = j; 337 } 338 } 339 //累加权值 340 sum += min; 341 342 Console.Write("({0},{1}) ", tempvertex[index], graph.vertex[index]); 343 344 //将取得的最小节点标识为已访问 345 weight[index] = short.MaxValue; 346 tempvertex[index] = 0; 347 348 //从最新的节点出发，将此节点的weight比较赋值 349 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++) 350 { 351 //已当前节点为出发点，重新选择最小边 352 if (graph.edges[index, j] < weight[j] && tempvertex[j] != used) 353 { 354 weight[j] = graph.edges[index, j]; 355 356 //这里做的目的将较短的边覆盖点上一个节点的邻接点中的较长的边 357 tempvertex[j] = int.Parse(graph.vertex[index]); 358 } 359 } 360 } 361 } 362 #endregion 363 364 #region dijkstra求出最短路径 365 /// 366 /// dijkstra求出最短路径 367 /// 368 /// 369 public void Dijkstra(MatrixGraph g) 370 { 371 int[] weight = new int[g.vertexNum]; 372 373 int[] path = new int[g.vertexNum]; 374 375 int[] tempvertex = new int[g.vertexNum]; 376 377 Console.WriteLine("\n请输入源点的编号："); 378 379 //让用户输入要遍历的起始点 380 int vertex = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1; 381 382 for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) 383 { 384 //初始赋权值 385 weight[i] = g.edges[vertex, i]; 386 387 if (weight[i] < short.MaxValue && weight[i] > 0) 388 path[i] = vertex; 389 390 tempvertex[i] = 0; 391 } 392 393 tempvertex[vertex] = 1; 394 weight[vertex] = 0; 395 396 for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) 397 { 398 int min = short.MaxValue; 399 400 int index = vertex; 401 402 for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++) 403 { 404 //顶点的权值中找出最小的 405 if (tempvertex[j] == 0 && weight[j] < min) 406 { 407 min = weight[j]; 408 index = j; 409 } 410 } 411 412 tempvertex[index] = 1; 413 414 //以当前的index作为中间点，找出最小的权值 415 for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++) 416 { 417 if (tempvertex[j] == 0 && weight[index] + g.edges[index, j] < weight[j]) 418 { 419 weight[j] = weight[index] + g.edges[index, j]; 420 path[j] = index; 421 } 422 } 423 } 424 425 Console.WriteLine("\n顶点{0}到各顶点的最短路径为：（终点 < 源点） " + g.vertex[vertex]); 426 427 //最后输出 428 for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) 429 { 430 if (tempvertex[i] == 1) 431 { 432 var index = i; 433 434 while (index != vertex) 435 { 436 var j = index; 437 Console.Write("{0} < ", g.vertex[index]); 438 index = path[index]; 439 } 440 Console.WriteLine("{0}\n", g.vertex[index]); 441 } 442 else 443 { 444 Console.WriteLine("{0} <- {1}: 无路径\n", g.vertex[i], g.vertex[vertex]); 445 } 446 } 447 } 448 #endregion 449 } 450 } 
算法速成系列至此就全部结束了，公司给我们的算法培训也于上周五结束，呵呵，赶一下同步。最后希望大家能对算法重视起来，
学好算法，终身收益。